No niestety ani jedno ani drugie nie jest zgodne z moimi wynikami. Oto treść całego zadania: Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych n, k gdzie k – Wydawało mi się, że Hubert Hurkacz po prostu nie dowierza, iż jego przeciwnik może grać aż tak dobrze. Nasze młode gwiazdy wciąż zbierają doświadczenie – ocenia Klaudia Jans-Ignacik, olimpijka z Pekinu, Londynu i Rio oraz finalistka French Open w mikście. Ułamek zwykły składa się z licznika (u góry) i mianownika (u dołu) oddzielonych tzw. kreską ułamkową. Odejmowanie ułamków zwykłych o takich samych mianownikach polega na odjęciu liczników, mianownik zostaje przepisany. Tego rodzaju działania uczniowie uczą się wykonywać w 4 klasie szkoły podstawowej. Nieco bardziej skomplikowane może okazać się dla najmłodszych odejmowanie ułamków o różnych mianownikach lub ułamków dziesiętnych. W tym ostatnim przypadku warto zastosować metodę odejmowania „pod kreską”. Odejmowanie ułamków zwykłych o takich samych mianownikach Odejmowanie ułamków zwykłych nie jest skomplikowane. Zasada mówi, że należy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Jak wygląda odejmowanie ułamków, które mają taką samą podstawę? W takiej sytuacji wystarczy odjąć liczniki: Wynik należy jeszcze skrócić: Foto: Onet W ten sposób wykonuje się odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach. Odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach Jak należy wykonywać odejmowanie ułamków o różnych mianownikach? Aby uzyskać wynik równania, trzeba sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika i dopiero zastosować metodę odejmowania liczników. Łatwo zrozumieć zasadę, patrząc na poniższy przykład: Foto: Onet Pierwszym krokiem jest znalezienie wspólnej podstawy (8*5 = 40): Foto: Onet Zarówno licznik, jak i mianownik należy pomnożyć przez 5. W ten sam sposób postępujemy z drugim ułamkiem, tyle że mnożymy przez 8: Foto: Onet Teraz możliwe jest wykonanie działania: Foto: Onet Odejmowanie ułamków z całościami Kolejnym etapem nauki równań z wykorzystaniem ułamków zwykłych jest odejmowanie ułamków z całościami. W takiej sytuacji należy zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy (to ułamek, który w liczniku ma większą liczbę niż w mianowniku), jak w poniższym przykładzie: Foto: Onet Jak więc wygląda odejmowanie ułamków z całościami? Po zamianie na ułamek niewłaściwy, w razie konieczności należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika i wykonać równanie — jak w poniższym przykładzie: Foto: Onet Odejmowanie ułamków dziesiętnych Odejmowanie ułamków dziesiętnych można wykonywać pod kreską. Zasada, o której trzeba pamiętać, to podpisywanie przecinka pod przecinkiem i ewentualne dopisanie zer (jeśli liczba cyfr po przecinku jest inna). Odejmowanie ułamków zaczynamy od poprawnego zapisu: 9,75 - 6,59 = 3,16, ponieważ: Foto: Onet lub jak w przykładzie: 32,7 - 10,542 = 22,158, ponieważ: Foto: Onet Odejmowanie ułamków dziesiętnych i zwykłych można opanować dość szybko, wystarczy zapamiętać kilka zasad wyszczególnionych powyżej. Metodą na utrwalenie tej umiejętności jest regularne wykonywanie ćwiczeń, rozwiązywanie zadań matematycznych. Pomóc mogą tu przykłady zamieszczone w internecie. Warto wchodzić na strony, na których dziecko może od razu przećwiczyć materiał do opanowania. Dostępne są również karty pracy dotyczące odejmowania ułamków. Odejmowanie ułamków — podsumowanie wiadomości Zasady, jakie trzeba poznać, by odejmować ułamki, to przede wszystkim konieczność sprowadzania do wspólnego mianownika ułamków zwykłych oraz odpowiedni zapis pod kreską ułamków dziesiętnych. Oczywiście w niektórych przypadkach możliwe jest odejmowanie w pamięci, wtedy można zrezygnować z liczenia pod kreską. Odejmowanie ułamków nie jest trudną sztuką, jednak warto pomóc najmłodszym w jej opanowaniu. Umiejętność ta przyda się również w kolejnych klasach, przy rozwiązywaniu znacznie trudniejszych zadań matematycznych. ^{Rozszerzanie ułamków polega na mnożeniu licznika i mianownika przez tą samą liczbę (inną od zera). Jeden ułamek można rozszerzyć do wielu innych postaci ułamków, np.: Rozszerzenie ułamka nie powoduje zmiany jego wartości. Najczęściej zmienia się ułamki, aby sprowadzić do wspólnego mianownika. 8.} Naszym celem będzie sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Polega ono na rozszerzeniu ułamków (mnożeniu licznika i mianownika przez tą samą liczbę) tak, aby w mianowniku uzyskać wspólną liczbę dla wszystkich ułamków. To działanie jest niezbędne np. przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków. Jak to zrobić? Weźmy dwa ułamki $\frac{2}{4}$ i $\frac{1}{3}$. Żeby znaleźć wspólny mianownik, to znajdujemy jego najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW), to znaczy: Wypisujemy po kolei wielokrotności danych liczb. Dla 4 i 3 mamy: 4 $\rightarrow$ 4,8,12,16,20,24,… 3 $\rightarrow$ 3,6,9,12,15,18,… Wypisujemy te wielokrotności aż do momentu, jak pierwszy raz znajdziemy wielokrotność liczb 4 i 3. Jest to liczba 12. Zatem NWW(4,3) $=$ 12, czyli liczba 12 jest ich wspólnym mianownikiem. Rozszerzamy więc nasze ułamki tak, aby w mianowniku pojawiła się 12, to znaczy: $$\frac{2}{4} = \frac{2}{4} \cdot \color{blue}{\frac{3}{3}} \color{black}{= \frac{2\cdot3}{4\cdot3}=\frac{6}{12}}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\frac{4}{4}}\color{black}{ = \frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{4}{12}}$$Po tym procesie uzyskaliśmy wspólny mianownik. Jest to liczba 12. Dodawanie ułamków zwykłych Żeby wyjaśnić idee dodawania ułamków, to spójrz na powyższe przykłady. Przykład 1. Oblicz $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$. Najpierw zaczynamy od sprowadzenia do wspólnego mianownika. Z poprzedniej części wiemy, że wspólnym mianownikiem 3 i 4 jest liczba 12. Zatem: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4}= \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$ Przykład 2. Oblicz $1\frac{1}{5} + \frac{3}{5}$. Najpierw liczbę $1\frac{1}{5}$ zamieniamy na ułamek niewłaściwy, tj.: $$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{5+1}{5} = \frac{6}{5}$$Teraz możemy wykonać działanie:$$\frac{6}{5} + \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$$ Przykład 3. Oblicz $2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6}$. Na początku zamieniamy liczby na ułamki niewłaściwe, czyli:$$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}$$ $$2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{12+1}{6} = \frac{13}{6}$$Znajdujemy NWW(4,6), tzn. wypisujemy wielokrotności liczb 4 i 6: 4 $\rightarrow$ 4,8,12,16,20,24,… 6 $\rightarrow$ 6,12,18,24,30,… Zatem NWW(4,6) $=$ 12. Wobec tego: $$\frac{9}{4} + \frac{13}{6} = \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{13 \cdot 2}{3 \cdot 4} = \frac{27}{12} + \frac{26}{12} = \frac{27+26}{12} = \frac{53}{12} = 4\frac{5}{12}$$ Odejmowanie ułamków zwykłych Schemat odejmowania ułamków jest taki sam jak przy dodawaniu ułamków zwykłych. Przykład 4. Oblicz $\frac{3}{4} – \frac{1}{4}$. $$\frac{3}{4} – \frac{1}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4}$$ Przykład 5. Oblicz $\frac{1}{3} – \frac{1}{7}$. Analogicznie jak w poprzednich przykładach, na początku sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, licząc NWW(3,7), które jest równe 21. Zatem: $$\frac{1}{3} – \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} – \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{7}{21} – \frac{3}{21} = \frac{4}{21}$$ Przykład 6. Oblicz $2\frac{1}{3} – 1\frac{1}{9}$. Analogicznie jak w poprzednich przykładach, najpierw zamieniamy powyższe ułamki na ułamki niewłaściwe, tj.: $$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$$ $$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{3} = \frac{9+1}{9} = \frac{10}{9}$$Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika, licząc NWW(3,9). Tym razem NWW(3,9) $=$ 9. Wobec tego: $$2\frac{1}{3} – 1\frac{1}{9} = \frac{7}{3} – \frac{10}{9} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3} – \frac{10}{9} = \frac{21}{9} – \frac{10}{9} = \frac{21 – 10}{9} = \frac{11}{9}$$ Mnożenie ułamków zwykłych Żeby łatwiej wytłumaczyć zasadę mnożenia ułamków zwykłych, to spójrz na ten przykład: Przykład 7. Oblicz $2 \cdot \frac{2}{5}$. Korzystając z własności ułamka: $$\frac{a \cdot b}{c \cdot d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d},\;\;\;\;gdzie: c, d \neq 0$$mamy:$$2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5}$$ Wystarczy tylko pomnożyć liczniki i mianowniki obu ułamków. Nie trzeba ich nawet sprowadzać do wspólnego mianownika. Przykład 8. Oblicz $2\frac{3}{4} \cdot 3\frac{2}{5}$. Analogiczne jak w przykładzie 7, mamy: $$2\frac{3}{4} \cdot 3\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} \cdot \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{11}{4} \cdot \frac{17}{5} = \frac{11 \cdot 17}{4 \cdot 5} = \frac{187}{20} = 9\frac{7}{20}$$ Dzielenie ułamków zwykłych Żeby podzielić dwa ułamki zwykłe, to pierwszy ułamek mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka. Przykład 9. Oblicz $\frac{1}{2} \div \frac{2}{3}$. Pierwszy ułamek pozostaje bez zmian, drugi ułamek „odwracamy”, to znaczy: zamieniamy miejscami licznik z mianownikiem, czyli: Teraz możemy obie liczby pomnożyć. Zatem:$$\frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$$ Przykład 10. Oblicz $3 \div \frac{1}{2}$. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, liczbę 3 zostawiamy. Odwrotnością ułamka $\frac{1}{2}$ jest liczba $\frac{2}{1}$ czyli 2. Zatem: $$3 \div \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{2}{1} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{6}{1} = 6$$ Przykład 11. Oblicz $2\frac{2}{3} \div 3\frac{1}{4}$. Wcześniej przy dzieleniu ułamków zamienialiśmy ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe, tzn.:$$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$$ $$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{12+1}{4} = \frac{13}{4}$$Liczbę $\frac{8}{3}$ zostawiamy bez zmian, natomiast liczba $\frac{13}{4}$ jest w postaci $\frac{4}{13}$. Zatem: $$2\frac{2}{3} \div 3\frac{1}{4} = \frac{8}{3} \div \frac{13}{4} = \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{13} = \frac{8 \cdot 4}{3 \cdot 13} = \frac{32}{39}$$

Ułamki mają różne liczniki i mianowniki. W związku z tym aby móc je ze sobą porównać należy sprowadzić do wspólnego mianownika (lub licznika). W tym przypadku możemy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, którym jest liczba 12. Ułamek po lewej stronie mnożymy przez 3 a ułamek po prawej stronie mnożymy przez 2.

^{Sprowadź do wspólnego mianownika poniższe ułamki: a) \(\dfrac{3}{5}\) oraz \(1\dfrac{2}{7}\) b) \(3\dfrac{5}{9}\) oraz \(7\dfrac{5}{6}\) c) \(2\dfrac{2}{3}\) oraz \(4\dfrac{4}{15}\) d) \(5\dfrac{6}{13}\) oraz \(9\dfrac{1}{2}\) e) \(11\dfrac{5}{12}\) oraz \(\dfrac{3}{5}\) Rozwiązanie Aby sprowadzić ułamek z częścią całkowitą do wspólnego mianownika, postępujemy tak, jakby tej liczby całkowitej nie było, po prostu przepisujemy ją, a ułamek rozszerzamy: a) \(\dfrac{3}{5}\) oraz \(1\dfrac{2}{7}\)Wspólnym mianownikiem będzie \(5\cdot 7=35\): \( \dfrac{3}{5}_{\: / \: \cdot 7}=\dfrac{3\cdot 7}{5\cdot 7}=\dfrac{21}{35}\) \(1\dfrac{2}{7}_{\: / \: \cdot 5}=1\dfrac{2\cdot 5}{7\cdot 5}=1\dfrac{10}{35}\) b) \(3\dfrac{5}{9}\) oraz \(7\dfrac{5}{6}\)Pierwszy mianownik to \(9=3\cdot 3\), drugi to \(6=3\cdot 2\), oznacza to, że wspólnym mianownikiem może być \(18\), czyli iloczyn niepowtarzających się liczb \(3\cdot 3\cdot 2\). \( 3\dfrac{5}{9}_{\: / \: \cdot 2}=3\dfrac{5\cdot 2}{9\cdot 2}=3\dfrac{10}{18}\) \( 7\dfrac{5}{6}_{\: / \: \cdot 3}=7\dfrac{5\cdot 3}{6\cdot 3}=7\dfrac{15}{18}\) c) \(2\dfrac{2}{3}\) oraz \(4\dfrac{4}{15}\)Wspólnym mianownikiem będzie \(15\), więc tylko pierwszy ułamek rozszerzamy: \( 2\dfrac{2}{3}_{\: / \: \cdot 5}=2\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=2\dfrac{10}{15}\) \(4\dfrac{4}{15}\) d) \(5\dfrac{6}{13}\) oraz \(9\dfrac{1}{2}\) Wspólnym mianownikiem będzie \(13\cdot 2 = 26\) \(5\dfrac{6}{13}_{\: / \: \cdot 2}=5\dfrac{6\cdot 2}{13\cdot 2}=5\dfrac{12}{26}\) \(9\dfrac{1}{2}_{\: / \: \cdot 13}=9\dfrac{1\cdot 13}{2\cdot 13}=9\dfrac{13}{26}\) e) \(11\dfrac{5}{12}\) oraz \(\dfrac{3}{5}\)Wspólnym mianownikiem podanych wyrażeń będzie \(12\cdot 5=60\): \(11\dfrac{5}{12}_{\: / \: \cdot 5}=11\dfrac{5\cdot 5}{12\cdot 5}=11\dfrac{25}{60}\) \(\dfrac{3}{5}_{\: / \: \cdot 12}=\dfrac{3\cdot 12}{5\cdot 12}=\dfrac{36}{60}\)Zadanie 1Zadanie 3} .

sqhu1089eg.pages.dev/331

sqhu1089eg.pages.dev/133

sqhu1089eg.pages.dev/653

sqhu1089eg.pages.dev/250

sqhu1089eg.pages.dev/203

sqhu1089eg.pages.dev/904

sqhu1089eg.pages.dev/854

sqhu1089eg.pages.dev/344

sqhu1089eg.pages.dev/545

sqhu1089eg.pages.dev/682

sqhu1089eg.pages.dev/380

sqhu1089eg.pages.dev/966

sqhu1089eg.pages.dev/150

sqhu1089eg.pages.dev/462

sqhu1089eg.pages.dev/905

jak sprowadzić do wspólnego mianownika